Дифференциальный оператор — Википедия. Дифференциальный оператор (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) — оператор, определённый некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или сечений дифференцируемых расслоений) на дифференцируемых многообразиях, или в пространствах, сопряжённых к пространствам этого типа. Дифференциальное выражение — это такое отображение . На многообразии M. Линейные дифференциальные операторы в пространствах, сопряжённых к пространствам функций (или сечений), определяются как операторы, сопряжённые к дифференциальным операторам, указанного выше вида в этих пространствах. Пусть F. Такой дифференциальный оператор D. Дифференциальный оператор D.
Остальные дифференциальные операторы называются нелинейными. Квазилинейный дифференциальный оператор при некоторых условиях регулярности функции F. Определённый этим выражением дифференциальный оператор на пространстве достаточно дифференцируемых функций на S. Аналогично 1) определяются нелинейные, квазилинейные и линейные дифференциальные операторы с частными производными и порядок дифференциального оператора; дифференциальный оператор называется эллиптическим, гиперболическим или параболическим, если он определяется дифференциальным выражением соответствующего типа. Иногда рассматриваются функции F. Например, дифференциальный оператор Коши- Римана, определённый дифференциальным выражением .
Линейные дифференциальные операторы. Издание второе, переработанное и дополненное. ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА».
Более того, само дифференцирование заменяется преобразованием Фурье (или другим интегральным преобразованием), применяемым к области определения и значения такого обобщённого дифференциального оператора так, чтобы получить возможно более простое представление соответствующей дифференциальному оператору функции F. Вопросы аппроксимации решений и построения приближенных решений дифференциальных уравнений также находят естественное обобщение и усовершенствование в задачах о соответствующих дифференциальных операторах, а именно — о подборе таких естественных топологий в области определения и области значений, чтобы оператор L. Теория дифференциальных операторов позволяет применить классические методы теории операторов, например теорию вполне непрерывных операторов, метод сжатых отображений в различных теоремах существования и единственности решений дифференциальных уравнений, в теории бифуркации решений и в нелинейных задачах о собственных значениях.
- Лит.: Наймарк M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными .
- Книга посвящена основам теории обыкновенных линейных дифференциальных операторов и некоторым ее приложениям.
- Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в. 2003 (djvu); Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука .
- Дифференциальный оператор (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) — оператор, определённый некоторым дифференциальным. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969. Паламодов В. Линейные дифференциальные .
- Наймарк Марк Аронович (1909-1978).
- ИЗ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.
- Приложения к дифференциальным уравнениям в гильбертовом пространстве. М.А.Наймарк. Линейные дифференциальные операторы.
Часто оказывается возможным использовать наличие в функциональных пространствах, где определён дифференциальный оператор, естественной структуры порядка (в частности, применить теорию монотонных операторов), использовать методы линейного анализа (теорию двойственности, теорию выпуклых множеств, теорию сопряженных операторов, теорию диссипативных операторов), вариационные методы и теорию экстремальных задач, а также наличие некоторых дополнительных структур в области определения области значений (например, комплексной, симплектической и т. Ряд задач, связанных с дифференциальными выражениями, приводит к необходимости изучения дифференциальных неравенств, естественно связанных с многозначными дифференциальными операторами. Таким образом, теория дифференциальных операторов позволяет разрешить ряд трудностей классической теории дифференциальных уравнений. Использование различных расширений обычных дифференциальных операторов приводит к понятию обобщённого решения соответствующего дифференциального уравнения (которое в ряде случаев, связанных, например, с эллиптическими задачами, оказывается необходимо классическим), а использование линейной структуры позволяет вводить понятие слабых решений дифференциальных уравнений. При выборе подходящего расширения дифференциального оператора, определённого дифференциальным выражением, важную роль играют связанные с конкретным видом последнего априорные оценки для решений, которые позволяют указать такие функциональные пространства, что в этих пространствах дифференциальных операторов непрерывен или ограничен. Но теория дифференциальных операторов даст возможность поставить и решить и ряд принципиально новых задач по сравнению с классическими задачами теории дифференциальных уравнений.
Так, для нелинейных операторов представляют интерес изучение структуры множества его неподвижных точек и действие оператора в их окрестности, а также классификация этих особых точек и вопрос об устойчивости типа особой точки при возмущении данного дифференциального оператора; для линейных дифференциальных операторов кроме указанных выше задач, представляют интерес задачи об описании и изучении спектра дифференциальных операторов, построения его резольвенты, вычислений индекса, описание структуры инвариантных подпространств данного дифференциального оператора, построение связанного с данным дифференциальным оператором гармонического анализа (в частности, разложения по собственным функциям, что требует предварительного изучения вопросов полноты системы собственных и присоединённых функций), изучения линейных и нелинейных возмущений данного дифференциального оператора. Эти задачи представляют особый интерес для эллиптических дифференциальных операторов, порождённых симметричными дифференциальными выражениями, в связи с теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (в частности, со спектральной теоремой для таких операторов и теорией расширений симметричных операторов). Теория ряда задач гиперболических и параболических (не обязательно линейных) дифференциальных операторов связана с теорией групп и полугрупп преобразований локально выпуклых пространств. Пожалуй, наиболее исследованный (помимо линейных) класс дифференциальных операторов, к тому же имеющий широкое практическое применение, — дифференциальные операторы, не изменяющиеся вообще или меняющиеся по вполне определённому закону при действии на область их определения и соответствующим образом на дифференциальное выражение некоторых преобразовании, составляющих группу G. Книгу Ты Мое Чудо. Драйвера На Видеокарту Radeon Hd 6450. Таковы, например, инвариантные дифференциальные операторы, тесно связанные с представлениями группы G. Функционально- геометрические методы полезны и при исследовании дифференциальных операторов с так называемой скрытой симметрией.
Марк Аронович Наймарк (5 декабря 1909(19091205), Одесса — 30 декабря 1978, Москва). М., 1968; Линейные дифференциальные операторы.
Дифференциальные операторы. Издание торов, переработанное и дополненное. ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА».
